Contoh soal matematika kelas 11 semester 2 smk

Menguasai Matematika Kelas 11 Semester 2 SMK: Kumpulan Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam

Matematika, seringkali dianggap sebagai mata pelajaran yang menantang, namun juga fundamental bagi perkembangan pola pikir logis dan analitis. Bagi siswa Sekolah Menengah Kejuruan (SMK), pemahaman matematika di kelas 11 semester 2 menjadi krusial karena seringkali materi yang diajarkan memiliki relevansi langsung dengan bidang keahlian yang mereka pilih. Semester ini biasanya memuat topik-topik penting yang membutuhkan pemahaman konseptual yang kuat dan kemampuan aplikasi yang baik.

Artikel ini akan menjadi panduan komprehensif bagi siswa kelas 11 SMK untuk mempersiapkan diri menghadapi ujian semester 2. Kita akan mengulas berbagai contoh soal dari topik-topik utama yang umum diajarkan, disertai dengan pembahasan langkah demi langkah yang mudah dipahami. Dengan latihan yang terarah, diharapkan siswa dapat membangun kepercayaan diri dan meraih hasil yang optimal.

Topik-Topik Kunci Matematika Kelas 11 Semester 2 SMK

Meskipun kurikulum dapat sedikit bervariasi antar program keahlian di SMK, beberapa topik matematika kelas 11 semester 2 yang sering dijumpai antara lain:

1. Statistika Inferensial Dasar: Meliputi pemahaman tentang sampel, populasi, distribusi frekuensi, ukuran pemusatan (mean, median, modus), ukuran penyebaran (variansi, standar deviasi), dan dasar-dasar peluang.
2. Kaidah Pencacahan (Permutasi dan Kombinasi): Teknik untuk menghitung banyaknya cara suatu kejadian dapat terjadi, yang sangat penting dalam analisis probabilitas.
3. Peluang Kejadian: Konsep peluang dasar, peluang kejadian majemuk, peluang bersyarat, dan teorema Bayes.
4. Logika Matematika: Pernyataan, negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi, serta penggunaan tabel kebenaran.
5. Geometri Dimensi Tiga (Opsional, tergantung kurikulum): Konsep jarak dan sudut dalam ruang.

Mari kita selami contoh soal untuk masing-masing topik.

>

1. Statistika Inferensial Dasar: Memahami Data di Sekitar Kita

Statistika inferensial adalah cabang statistika yang berfokus pada penarikan kesimpulan tentang populasi berdasarkan data dari sampel. Pemahaman dasar tentang ukuran pemusatan dan penyebaran data sangat penting untuk menginterpretasikan informasi dari data.

Contoh Soal 1.1 (Ukuran Pemusatan):

Nilai ulangan harian matematika 10 siswa kelas XI SMK adalah sebagai berikut: 7, 8, 6, 9, 7, 8, 5, 7, 9, 6. Tentukan:
a. Mean (Rata-rata)
b. Median (Nilai Tengah)
c. Modus (Nilai yang Paling Sering Muncul)

Pembahasan:

a. Mean: Untuk menghitung mean, kita menjumlahkan semua nilai dan membaginya dengan jumlah data.
Jumlah data = 10
Jumlah nilai = 7 + 8 + 6 + 9 + 7 + 8 + 5 + 7 + 9 + 6 = 72
Mean = $fractextJumlah nilaitextJumlah data = frac7210 = 7.2$

b. Median: Untuk mencari median, pertama-tama kita harus mengurutkan data dari yang terkecil hingga terbesar.
Data terurut: 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9
Karena jumlah data genap (10), median adalah rata-rata dari dua nilai tengah. Nilai tengah ke-5 adalah 7, dan nilai tengah ke-6 adalah 7.
Median = $frac7 + 72 = 7$

c. Modus: Modus adalah nilai yang paling sering muncul dalam data.
Dari data terurut: 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9
Nilai 7 muncul sebanyak 3 kali, yang merupakan frekuensi terbanyak.
Modus = 7

Contoh Soal 1.2 (Ukuran Penyebaran):

Diberikan data tinggi badan (dalam cm) siswa kelas XI di sebuah SMK: 160, 165, 170, 162, 168, 175, 163, 166, 172, 170. Hitunglah variansi dan standar deviasi dari data tersebut.

Pembahasan:

Langkah pertama adalah menghitung mean dari data tersebut.
Jumlah data = 10
Jumlah nilai = 160 + 165 + 170 + 162 + 168 + 175 + 163 + 166 + 172 + 170 = 1691
Mean ($barx$) = $frac169110 = 169.1$ cm

Selanjutnya, kita hitung selisih kuadrat setiap data dari mean:
(160 – 169.1)$^2$ = (-9.1)$^2$ = 82.81
(165 – 169.1)$^2$ = (-4.1)$^2$ = 16.81
(170 – 169.1)$^2$ = (0.9)$^2$ = 0.81
(162 – 169.1)$^2$ = (-7.1)$^2$ = 50.41
(168 – 169.1)$^2$ = (-1.1)$^2$ = 1.21
(175 – 169.1)$^2$ = (5.9)$^2$ = 34.81
(163 – 169.1)$^2$ = (-6.1)$^2$ = 37.21
(166 – 169.1)$^2$ = (-3.1)$^2$ = 9.61
(172 – 169.1)$^2$ = (2.9)$^2$ = 8.41
(170 – 169.1)$^2$ = (0.9)$^2$ = 0.81

Jumlah kuadrat selisih = 82.81 + 16.81 + 0.81 + 50.41 + 1.21 + 34.81 + 37.21 + 9.61 + 8.41 + 0.81 = 242.9

Variansi (s$^2$) = $fractextJumlah kuadrat selisihtextJumlah data – 1$ (untuk sampel)
Variansi (s$^2$) = $frac242.910 – 1 = frac242.99 approx 26.99$ cm$^2$

Standar Deviasi (s) = $sqrttextVariansi$
Standar Deviasi (s) = $sqrt26.99 approx 5.195$ cm

Standar deviasi memberikan gambaran seberapa tersebar data dari rata-ratanya.

>

2. Kaidah Pencacahan: Menghitung Kemungkinan

Kaidah pencacahan sangat berguna dalam menentukan jumlah cara suatu objek dapat diatur atau dipilih. Dua konsep utama adalah permutasi dan kombinasi.

Permutasi: Urutan penting.
Kombinasi: Urutan tidak penting.

Contoh Soal 2.1 (Permutasi):

Dalam sebuah kompetisi pemilihan ketua, sekretaris, dan bendahara OSIS di SMK, terdapat 8 kandidat. Berapa banyak susunan pengurus yang berbeda yang dapat dibentuk jika setiap kandidat hanya dapat dipilih untuk satu jabatan?

Pembahasan:

Karena jabatan yang dipilih berbeda (ketua, sekretaris, bendahara), maka urutan pemilihan penting. Ini adalah masalah permutasi. Kita memilih 3 orang dari 8 kandidat untuk menduduki 3 posisi yang berbeda.

Rumus permutasi: $P(n, k) = fracn!(n-k)!$
Di sini, $n = 8$ (jumlah kandidat) dan $k = 3$ (jumlah jabatan).

$P(8, 3) = frac8!(8-3)! = frac8!5! = frac8 times 7 times 6 times 5 times 4 times 3 times 2 times 15 times 4 times 3 times 2 times 1$
$P(8, 3) = 8 times 7 times 6 = 336$

Jadi, ada 336 susunan pengurus yang berbeda yang dapat dibentuk.

Contoh Soal 2.2 (Kombinasi):

Sebuah tim terdiri dari 5 siswa SMK akan dipilih dari 12 siswa yang ada untuk mengikuti lomba cerdas cermat. Berapa banyak cara berbeda untuk membentuk tim tersebut?

Pembahasan:

Dalam kasus ini, urutan pemilihan siswa tidak penting. Yang penting adalah siapa saja yang masuk ke dalam tim. Ini adalah masalah kombinasi. Kita memilih 5 siswa dari 12 siswa.

Rumus kombinasi: $C(n, k) = fracn!k!(n-k)!$
Di sini, $n = 12$ (jumlah siswa) dan $k = 5$ (jumlah siswa yang dipilih).

$C(12, 5) = frac12!5!(12-5)! = frac12!5!7! = frac12 times 11 times 10 times 9 times 8 times 7!5 times 4 times 3 times 2 times 1 times 7!$
$C(12, 5) = frac12 times 11 times 10 times 9 times 85 times 4 times 3 times 2 times 1$
$C(12, 5) = frac95040120 = 792$

Jadi, ada 792 cara berbeda untuk membentuk tim tersebut.

>

3. Peluang Kejadian: Mengukur Kemungkinan Terjadinya Sesuatu

Peluang adalah ukuran seberapa mungkin suatu kejadian akan terjadi. Nilainya berkisar antara 0 (tidak mungkin terjadi) hingga 1 (pasti terjadi).

Contoh Soal 3.1 (Peluang Kejadian Tunggal):

Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah, 3 bola biru, dan 2 bola hijau. Jika satu bola diambil secara acak, berapakah peluang terambilnya bola biru?

Pembahasan:

Jumlah total bola dalam kotak = 5 (merah) + 3 (biru) + 2 (hijau) = 10 bola.
Jumlah bola biru = 3.

Peluang (Kejadian) = $fractextJumlah hasil yang diinginkantextJumlah total hasil yang mungkin$

Peluang terambilnya bola biru = $fractextJumlah bola birutextJumlah total bola = frac310$

Contoh Soal 3.2 (Peluang Kejadian Majemuk – Independen):

Sebuah dadu bersisi enam dilempar dua kali. Berapakah peluang munculnya angka 3 pada lemparan pertama DAN angka genap pada lemparan kedua?

Pembahasan:

Kejadian pada lemparan pertama dan kedua adalah independen (saling bebas), artinya hasil lemparan pertama tidak memengaruhi hasil lemparan kedua.

• Peluang muncul angka 3 pada lemparan pertama:
  Jumlah sisi dadu = 6. Angka 3 hanya muncul 1 kali.
  P(angka 3 pada lemparan pertama) = $frac16$

• Peluang muncul angka genap pada lemparan kedua:
  Angka genap pada dadu adalah 2, 4, 6. Ada 3 angka genap.
  P(angka genap pada lemparan kedua) = $frac36 = frac12$

Peluang kejadian A DAN B yang independen adalah P(A) $times$ P(B).
P(angka 3 pada lemparan pertama DAN angka genap pada lemparan kedua) = P(angka 3 pada lemparan pertama) $times$ P(angka genap pada lemparan kedua)
= $frac16 times frac12 = frac112$

Contoh Soal 3.3 (Peluang Kejadian Majemuk – Dependen/Bersyarat):

Dalam sebuah kantong terdapat 4 kelereng merah dan 6 kelereng putih. Dua kelereng diambil satu per satu tanpa pengembalian. Berapakah peluang terambilnya kelereng pertama merah dan kelereng kedua putih?

Pembahasan:

Kejadian ini adalah dependen karena kelereng pertama tidak dikembalikan.

• Peluang terambilnya kelereng pertama merah:
  Jumlah kelereng merah = 4
  Jumlah total kelereng = 4 + 6 = 10
  P(kelereng pertama merah) = $frac410$

• Setelah kelereng pertama merah diambil dan tidak dikembalikan, tersisa:
  Jumlah kelereng merah = 3
  Jumlah kelereng putih = 6
  Jumlah total kelereng = 3 + 6 = 9

• Peluang terambilnya kelereng kedua putih (dengan syarat kelereng pertama merah):
  P(kelereng kedua putih | kelereng pertama merah) = $fractextJumlah kelereng putihtextJumlah total kelereng yang tersisa = frac69$

Peluang kejadian A DAN B yang dependen adalah P(A) $times$ P(B|A).
P(kelereng pertama merah DAN kelereng kedua putih) = P(kelereng pertama merah) $times$ P(kelereng kedua putih | kelereng pertama merah)
= $frac410 times frac69 = frac2490 = frac415$

>

4. Logika Matematika: Dasar-Dasar Penalaran

Logika matematika adalah studi tentang penalaran yang sah. Ini melibatkan penggunaan simbol untuk mewakili pernyataan dan operator logika untuk menghubungkannya.

Contoh Soal 4.1 (Pernyataan, Negasi, Konjungsi, Disjungsi):

Diketahui pernyataan-pernyataan berikut:
P: "Hari ini cuaca cerah."
Q: "Saya akan pergi ke pantai."

Tentukan negasi, konjungsi, dan disjungsi dari kedua pernyataan tersebut.

Pembahasan:

• Negasi (¬): Membalikkan nilai kebenaran suatu pernyataan.

  • Negasi P (¬P): "Hari ini cuaca tidak cerah."
  • Negasi Q (¬Q): "Saya tidak akan pergi ke pantai."

• Konjungsi (∧): Pernyataan "P DAN Q". Bernilai benar hanya jika P dan Q keduanya benar.

  • P ∧ Q: "Hari ini cuaca cerah DAN saya akan pergi ke pantai."

• Disjungsi (∨): Pernyataan "P ATAU Q". Bernilai benar jika salah satu atau keduanya benar.

  • P ∨ Q: "Hari ini cuaca cerah ATAU saya akan pergi ke pantai."

Contoh Soal 4.2 (Implikasi dan Biimplikasi):

Diketahui pernyataan:
P: "Siswa belajar dengan giat."
Q: "Siswa lulus ujian."

Nyatakan implikasi dan biimplikasi dari kedua pernyataan ini.

Pembahasan:

• Implikasi (⇒): Pernyataan "JIKA P MAKA Q". Bernilai salah hanya jika P benar dan Q salah.

  • P ⇒ Q: "Jika siswa belajar dengan giat, maka siswa lulus ujian."
  • Q ⇒ P: "Jika siswa lulus ujian, maka siswa belajar dengan giat." (Ini adalah konvers dari P ⇒ Q, dan belum tentu bernilai sama).

• Biimplikasi (⇔): Pernyataan "P JIKA DAN HANYA JIKA Q". Bernilai benar jika P dan Q memiliki nilai kebenaran yang sama (keduanya benar atau keduanya salah).

  • P ⇔ Q: "Siswa belajar dengan giat jika dan hanya jika siswa lulus ujian."
    Ini berarti, jika siswa belajar giat, dia pasti lulus, DAN jika siswa tidak belajar giat, dia pasti tidak lulus.

Contoh Soal 4.3 (Tabel Kebenaran):

Buatlah tabel kebenaran untuk pernyataan $(P wedge Q) vee neg P$.

Pembahasan:

Kita akan membuat kolom untuk P, Q, $neg$P, $P wedge Q$, dan $(P wedge Q) vee neg P$.

P	Q	¬P	P ∧ Q	(P ∧ Q) ∨ ¬P
Benar	Benar	Salah	Benar	Benar
Benar	Salah	Salah	Salah	Salah
Salah	Benar	Benar	Salah	Benar
Salah	Salah	Benar	Salah	Benar

Penjelasan Tabel:

1. Kolom P dan Q mencakup semua kemungkinan kombinasi nilai kebenaran (Benar/Salah).
2. Kolom ¬P adalah kebalikan dari kolom P.
3. Kolom P ∧ Q bernilai Benar hanya jika P dan Q keduanya Benar.
4. Kolom (P ∧ Q) ∨ ¬P bernilai Benar jika salah satu dari kolom (P ∧ Q) atau kolom ¬P bernilai Benar.

>

Penutup: Kunci Sukses Matematika

Menguasai materi matematika kelas 11 semester 2 SMK membutuhkan lebih dari sekadar menghafal rumus. Pemahaman konsep, latihan soal yang bervariasi, dan kemampuan mengaplikasikan pengetahuan dalam berbagai konteks adalah kunci utama.

Tips Tambahan untuk Siswa SMK:

• Hubungkan dengan Bidang Keahlian: Cobalah mencari contoh aplikasi materi matematika dalam praktik kejuruan Anda. Ini akan membuat belajar menjadi lebih relevan dan menarik.
• Diskusi dan Kolaborasi: Belajar bersama teman dapat membantu Anda melihat sudut pandang yang berbeda dan memecahkan masalah yang sulit.
• Manfaatkan Sumber Daya: Jangan ragu untuk bertanya kepada guru, mencari referensi tambahan di buku, internet, atau video pembelajaran.
• Latihan Teratur: Konsistensi adalah kunci. Kerjakan soal latihan secara rutin, jangan hanya menjelang ujian.
• Pahami Kesalahan: Saat mengerjakan soal, jangan hanya fokus pada jawaban benar, tetapi pahami di mana letak kesalahan Anda agar tidak terulang kembali.

Dengan persiapan yang matang dan sikap belajar yang positif, matematika kelas 11 semester 2 SMK akan menjadi jembatan yang kuat menuju keberhasilan Anda di dunia profesional. Selamat belajar!

>